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第1课时 一元二次方程(1)
时间:2016-02-20 14:54:27 来源: 作者: 访问次数:
一、自主学习 感受新知 【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽各为多少? 【分析】设宽为x米,则列方程得:x(x+10)=900; 整理得 x2+10x-900=0 ① 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册,预计至明年年底增加到7.2万册,求这两年的年平均增长率。 【分析】设这两年的年平均增长率为x,则列方程得:5(1+x)2=7.2; 整理得 5 x2+10x-2.2=0 ② 【问题2】学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 【分析】全部比赛共4×7=28场,设应邀请x个队参赛,则每个队要与其它 (x-1)队各赛1场,全场比赛共 场,列方程得: ; 整理得 x2-x-56=0 ③ 鼓励学生独立解决问题,让学生初步感受一元二次方程,同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型. 二、自主交流 探究新知 【探究】(1)上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 (填 “整式”“分式”“无理式”); (2)方程整理后含有 一 个未知数; (3)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是 二 次。 【归纳】 1、一元二次方程的定义:等号两边都是 整式 ,只含有 一 个求知数(一元),并且求知数的最高次数是 2 (二次)的方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。 【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程,如果a=0,b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中,必须包含a≠0这个条件。 【补充练习】判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x3-2x2+5=0; (2)x2=1; (3)5x2-2x- =x2-2x+ ; (4)2(x+1)2=3(x+1); (5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0 主体活动,探索一元二次方程的定义及其相关概念. 判断一个方程是不是一元二次方程,首先要对其整理成一般形式,然后根据定义判断。 三、自主应用 巩固新知 【例1】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等. 解:去括号,得:3x2-3x=5x+10 移项合并同类项,得:3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10。 【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 【例2】将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项. 【分析】通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式. 解:去括号,得:x2+2x+1+ x2-4=1 移项合并同类项,得:2x2+2x-4=0 其中二次项是2x2,二次项系数是2,一次项是2x,一次项系数是-8,常数项是-10。 【例3】求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程. 【分析】要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可. 证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 ∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程. 【练习】Р27 1 2 进一步巩固一元二次方程的基本概念 四、自主总结 拓展新知 1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件,否则,方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0,就不是一元二次方程。 2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项,应先将方程化为一般形式。 五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 (《课堂内外》对应练习) 教学理念/教学反思
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